«غالبًا ما يرى علماء الرياضيات في الرموز والأرقام أكثر من مجرد منطق يفتقر إلى العاطفة؛ بل إنهم يرون جمالًا ساميًا».
كلارا موسكوفيتز (كبير محررين في مجلة سينتفك أمريكان)
1- نظرية فيثاغورس (The Pythagorean Theorem)
بماذا تُخبرنا؟
كيف ترتبط الأضلاع الثلاثة لمثلث قائم الزاوية ببعضها.
ما أهميتها؟
توفر صلة هامة بين الهندسة والجبر، مما يسمح لنا بحساب المسافات بدلالة الإحداثيات، وهي أيضًا علاقة هامة في علم المثلثات.
ما الذي أدت إليه؟
علم المساحة (Surveying)، والملاحة (navigation)، والنظرية النسبية الخاصة والعامة.
هذه النظرية أساسية لفهمنا لعلم الهندسة؛ حيث تصف العلاقة بين أطوال أضلاع المثلث القائم الزاوية على مستوى مسطح، ربّع طولي الضلعين القصيرين a وb؛ فستحصل على مربع طول الضلع الثالث c.
تُميّز هذه العلاقة بطريقة أو بأخرى في الواقع بين هندستنا الإقليدية المسطحة العادية، والهندسة غير الإقليدية المُنحنية. على سبيل المثال مثلث قائم الزاوية مرسوم على سطح كرة لا يقتضي اتّباع نظرية فيثاغورس.
2- اللوغاريتمات (Logarithms)
بماذا تُخبرنا؟
كيفية ضرب الأرقام بإضافة أرقام ذات صلة بدلًا من ذلك (عدد لأساسٍ ما هو الأسّ الذي يُرْفَع إليه الأساس لينتج ذلك العدد).
ما أهميتها؟
الجمع (Addition) هو: عملية أبسط بكثير من عملية الضرب (Multiplication).
ما الذي أدت إليه؟
- طرق فعّالة في حساب الظواهر الفلكية مثل: (الكسوف والخسوف والمدارات الكوكبية).
- طرق سريعة لأداء الحسابات العلمية. رفيق المهندسين المخلص كمسطرة منزلقه.
تُعتبر اللوغاريتمات عكس الدوال الأسية (Exponential Functions)، حيثُ يخبرك لوغاريتم أساس معين القوة التي تحتاجها لرفع هذا الأساس للحصول على عدد محدد، فعلى سبيل المثال: فإن لوغاريتم للأساس 10 يساوي 1.
log(1) = 0 لأن 1 = 100، وlog(10) = 1 لأن 10 = 101، وlog(100) = 2 لأن 100 = 102.
تُظهر المعادلة في الصورة أعلاها أحد أكثر تطبيقات اللوغاريتمات فائدة؛ فهي تحول عملية الضرب إلى جمع، وقبل تطور الكمبيوتر الرقمي كانت هذه الطريقة هي الطريقة الأكثر شيوعًا لمضاعفة أعداد كبيرة معًا بسرعة، مما أدى إلى القيام بالحسابات في الفيزياء والفلك والهندسة بطريقة سريعة للغاية.
3- التفاضل والتكامل (calculus)
بماذا يُخبرنا؟
للعثور على معدل التغير في كمية مُعينة بالنسبة لكمية أخرى -على سبيل المثال- التغيير بالنسبة للوقت، وحساب مدى تغير قيمته على الفاصل الزمني القصير والقسمة على الوقت المعني.
ما أهميته؟
توفر (المعادلة في الصورة أعلاها) أساسًا في غاية الدقة لحساب التفاضل والتكامل، وهي الطريقة الرئيسية التي يستند عليها العلماء في نمذجة العالم الطبيعي.
ما الذي أدى إليه؟
- حساب طول المماسات وتقديرالمساحات.
- تعيين أحجام المُجسمات وطول المُنحنيات.
- قوانين نيوتن للحركة والمعادلات التفاضلية.
- قانوني حفظ الطاقة والزخم.
- مُعظم الفيزياء الرياضية.
تُمثل الصيغة المٌعطاة في الصورة تعريف عملية الاشتقاق في حساب التفاضل والتكامل، يقيس المشتق المعدل الذي تتغير به كمية ما، على سبيل المثال يمكننا التفكير في السرعة على أنها مشتق للموضع، فعلى سبيل المثال إذا كنت تسير بسرعة مقدارها 3 أميال (4.8 كم) في الساعة، فهذا يعني أنك قمت بتغيير موضعك (مكانك) بمقدار 3 أميال، وبطبيعة الحال فإن الكثير من العلوم تهتم بفهم كيفية تغير الأشياء، فالاشتقاق والتكامل -الأساس الآخر لحساب التفاضل والتكامل- يُعتبران الوريدين الأساسيين في قلب الكيفية التي يفهم بها الرياضيون والعلماء التغيير.
4- قانون نيوتن للجاذبية (Newton’s Law of Gravity)
بماذا يخبرنا؟
يُحدد قوة التجاذب بين جسمين بدلالة كتلتهما والمسافة بينهما.
ما أهميته؟
يمكن تطبيقه على أي نظام من الأجسام التي تتفاعل مع بعضها من خلال قوة الجاذبية، مثل النظام الشمسي، ويخبرنا بأنه يتم تحديد حركة هذه الأجسام من خلال قانون رياضي بسيط.
ما الذي أدى إليه؟
- التنبؤ الدقيق للكسوف والخسوف، والمدارات الكوكبية، ومرور المذنبات، ودوران المجرات.
- الأقمار الصناعية ومسوحات الأرض، تلسكوب هابل، ورصد التوهجات، أو الانفجارات الشمسية.
- المسبارات الكوكبية، جوالات المريخ، الاتصالات بالأقمار الصناعية والتلفزيون، والنظام العالمي لتحديد المواقع (GPS).
ومرة أخرى يصف قانون جاذبية نيوتن قوة التجاذب بين جسمين F، بدلالة ثابت الجاذبية العام G، وكتلتي الجسمين m1 وm2، والمسافة بينهما r.
يُعتبر قانون نيوتن هو: قطعة ثمينة من التاريخ العلمي، وهو يفسر بطريقة دقيقة لماذا تتحرك الكواكب بالطريقة التي تتحرك بها، ومن اللافت للنظر أيضًا طبيعته الكونية -وليس هذا فقط مدى فعالية الجاذبية على الأرض- أو في نظامنا الشمسي، ولكن في أي مكان في الكون.
ظلت جاذبية نيوتن صامدة بشكل جيد للغاية على مدار 200 عام، ولم تكن كذلك حتى ظهور نظرية أينشتاين في النسبية العامة التي حلّت محلها.
5- الجذر التربيعي ل«-1»
بماذا يُخبرنا؟
على الرغم من كونه -الجذر التربيعي للعدد -1،- عملية غير ممكنة، فإن مربعرقم i هو -1.
ما أهميته؟
أدى ذلك إلى إنشاء الأرقام المُركبة (Complex Numbers)، مما أدى بدوره إلى التحليل المُركب (Complex Analysis)، فهو واحد من أقوى فروع الرياضيات.
ما الذي أدى إليه؟
- أساليب محسّنة لحساب الدوال المثلثية.
- تحديد قوانين عامة لأغلب الرياضيات.
- طرق أكثر قوة لفهم الأمواج والحرارة والكهرباء والمغناطيسية.
- الأساس الرياضي لميكانيكا الكم.
لطالما كان علماء الرياضيات يوسعون الفكرة عن ماهية وكون الأرقام، بدايةً من الأرقام الطبيعية، إلى الأرقام السالبة، فالكسور، وانتهاءً بالأعداد الحقيقية، ويكمل الجذر التربيعي لـ -1،-والذي يكتب عادةً i – هذه السلسلة، مما يؤدي إلى زيادة الأعداد المُركبة رياضيًا، فالأعداد المُركبة (Complex Number) هي رائعة للغاية.
يعمل الجبر تمامًا بالطريقة التي نريدها، فأي معادلة لها حل بالأعداد المُركبة، وهو وضع غير صحيح بالنسبة للأعداد الحقيقية، فمثلًا:
x2 +4 =0 ليس له حل حقيقي، ولكنه يحتوي على حل مُركب؛ وهو الجذر التربيعي ل-4 أو 2i. ويمكن أن يمتد حساب التفاضل والتكامل ليشمل الأعداد المركبة، ونتيجة لذلك نجد بعض التماثلات المدهشة، وخصائص هذه الأرقام تجعل هذه الخصائص الأعداد المُركبة ضرورية في مجال الإلكترونيات ومعالجة الإشارات.
6- صيغة أويلر للمُجسمات مُتعددة الأسطح (Euler’s Polyhedra Formula)
بماذا تُخبرنا؟
عدد الوجوه (F)، والحروف (E)، والرؤوس (V) لمجسم ما ليست مستقلة عن بعضها، وإنما ترتبط بطريقة مُعينة بأسلوبٍ بسيط.
ما أهميتها؟
مهدت الطريق لتقنيات أكثر عمومية وأكثر قوة، وهذا بدوره أدى إلى إنشاء فرع جديد في الرياضيات.
ما الذي أدت إليه؟
- واحد من أهم فروع الرياضيات وأكثرها قوة: الطبولوجيا (Topology)، والتي تدرس الخصائص الهندسية التي لا تتغير من خلال التشوهات المستمرة.
- معظم التطبيقات غير مباشرة، ولكن تأثيرها من وراء الكواليس أمر مهم.
- تساعد في فهم كيفية عمل الأنزيمات على الحمض النووي في الخلية، ولماذا حركة الأجسام السماوية يمكن أن تكون فوضوية.
المُجسمات متعددة الأسطح (Polyhedra) هي: نُسخ ثلاثية الأبعاد للمضلعات، تسمى زوايا المجسم متعدد السطوح بالرؤوس، والخطوط التي تربط الرؤوس هي الحروف، والمضلعات التي تغطيه تُسمى الوجوه.
يحتوي المكعب على 8 رؤوس و12 حرفًا و6 أوجه إذا قمت بجمع الرؤوس والوجوه معًا، وطرح الحروف، فسوف تحصل على 8 + 6 – 12 = 2.
تنص معادلة أويلر على أنه طالما كان السلوك متعدد الوجوه جيدًا إلى حد ما، وإذا قمت بجمع القمم والوجوه معًا، وطرح الحروف، فستحصل دائمًا على 2، وسوف يكون ذلك صحيحًا إذا كان متعدد الوجوه الخاص بك يحتوي على 4، 8، 12، 20 أو أي عدد من الوجوه.
7- التوزيع الطبيعي (Normal distribution)
بماذا يُخبرنا؟
هو توزيع احتمالي مستمر كثير الانتشار والاستعمال، يستخدم غالبًا تقريبًا أوليًا لوصف المتغيرات العشوائية التي تميل إلى التمركز حول قيمة متوسطة (المتوسط) وحيدة، ويعتمد بشكل كبير على كمية تسمى الانحراف المعياري (Standard Deviation).
ما أهميته؟
يُحدد عائلة خاصة من التوزيعات الاحتمالية (Probability Distribution) في هيئة منحنى يأخذ شكل الجرس، والتي غالبًا ما تكون نماذج جيدة لرصد العالم المحيط بنا.
ما الذي أدى إليه؟
يُعتبر مفهوم القيمة المتوسطة ذا أهمية في اختبار البيانات التجريبية.
يُستخدم المنحنى الطبيعي في الفيزياء والبيولوجيا والعلوم الاجتماعية لصياغة الخصائص المختلفة.
أحد أسباب تواجد المنحنى الطبيعي بشكل شائع هو: أنه يوضح سلوك مجموعات كبيرة من العمليات المستقلة.
8- المعادلة الموجية (Wave Equation)
بماذا تُخبرنا؟
يتناسب تسارع جزء صغير من وتر الكمان تناسبًا طرديًا مع متوسط الإزاحة للأجزاء المجاورة.
ما أهميتها؟
تتنبأ المعادلة الموجية باهتزاز الوتر في شكل موجات، ويعمم هذا المبدأ بشكل طبيعي على جميع الأنظمة الفيزيائية الأخرى المُهتزة.
ما الذي أدت إليه؟
- تقدم كبير في فهمنا لموجات المياه والصوت، وموجات الضوء، والاهتزازات المرنة، ويستخدم علماء الزلازل نسخ معدلة من المعادلة الموجية لاستنتاج التركيب الداخلي للأرض من كيفية اهتزازها.
- تَستخدم شركات النفط طرقًا مماثلة للعثور على النفط.
- · تنبأت بوجود الموجات الكهرومغناطيسية، مما أدت بدورها إلى اكتشاف موجات الراديو، واختراع التلفزيون والرادار، والاتصالات الحديثة.
المعادلة الموجية هي: معادلة تفاضلية (Differential Equations)، أو معادلة تصف كيف تتغير خاصية ما عبر الزمن من حيث مشتق تلك الخاصية، كما بالصورة، تصف المعادلة الموجية سلوك الموجات: سلسلة من اهتزازات وتر الغيتا، تموجات في بُحيرة بعد رمي حجر، أو ضوء يخرج من مصباح متوج. كانت المعادلة الموجية معادلة تفاضلية مبكرة، وفتحت التقنيات التي تم تطويرها لحل المعادلة الباب لفهم المعادلات التفاضلية الأخرى كذلك.
9- تحويل فورييه (Fourier Transform)
بماذا يُخبرنا ؟
يمكن اعتبار أي نمط أو أسلوب معين في الفضاء (المكان)، والوقت: عبارة عن تراكب من الأنماط أو التآلفات الجيبية بترددات مختلفة.
ما أهميته؟
يمكن استخدام الترددات المُكوِنة لتحليل أنماط الإشارات، وتنسيقها، واستخراج الميزات الهامة، وإزالة الضوضاء العشوائية.
ما الذي أدى إليه؟
- تستخدم تقنية فورييه على نطاق واسع، فتستخدم على سبيل المثال في معالجة الصور وميكانيكا الكم.
- يتم استخدامها للوصول لتركيب الجزيئات البيولوجية الكبيرة مثل الحمض النووي DNA.
- لضغط بيانات الصورة في التصوير الرقمي.
- لتصليح التسجيلات الصوتية القديمة أو التالفة، وتحليل الزلازل.
يُعد تحويل فورييه ضروريًا لفهم تركيب الموجات الأكثر تعقيدًا، مثل موجات الصوت البشري، وبالنظر إلى دالة موجية معقدة ومُشوشة مثل تسجيل شخص يتحدث، فإن تحويل فورييه يسمح لنا بتحليل الدالة المُشوشة إلى مزيج من عدد من الموجات البسيطة، مما يسهل التحليل إلى حد كبير.
ونستكمل باقي المعادلات في مقال قادم إن شاء الله ذلك.
إعداد: أحمد رجب رفعت
المصادر:
2. In Pursuit of the Unknown: 17 Equations That Changed the World, by Ian Stewart 2013
لا تعليق